Comment fonctionnent vraiment les puzzles de contraintes — les six idées derrière toute grille logique

Presque tout le monde apprend le sudoku en balayant la grille : vous regardez une ligne, marmonnez les chiffres déjà posés et attendez qu'une case se dénonce. Cela marche un temps. Puis arrive une grille qui ne dénonce rien, et vous bloquez.

La solution n'est pas de balayer davantage, mais de changer de question. Ceux qui ne bloquent jamais ne regardent pas plus vite : ils posent une question plus étroite et disposent d'outils nommés pour y répondre. Ce ne sont pas des outils de sudoku : ils marchent sur les grilles de lettres, les grilles logiques, les puzzles d'ordonnancement et de graphes, partout où des valeurs se répartissent sous contraintes.

Voici les six, dans l'ordre où il faut les apprendre, chacune avec un exemple.

1. Des candidats, pas des réponses

L'habitude la plus utile ici : cesser de demander qu'est-ce qui va là pour demander qu'est-ce qui ne peut pas y aller.

Pour chaque case vide, notez les valeurs que les règles autorisent encore : ses candidats. Dans un sudoku classique, la case ligne 4, colonne 7 part avec les neuf chiffres. Sa ligne contient déjà 1, 2, 5 et 8. Sa colonne contient 3, 4 et 9. Son bloc contient 6. Rayez tout cela et un seul candidat survit : le 7.

Regardez la forme du coup. Vous n'avez pas trouvé le 7 : vous avez détruit les huit autres. Toutes les techniques qui suivent détruisent des candidats, et les réponses sont ce qui reste debout quand il n'y a plus rien à abattre.

C'est pour cela que la compétence se transporte. Dans Terraxis, les pays sont placés de sorte que chaque ligne croisse de gauche à droite selon sa règle propre : superficie, population, latitude de la capitale, voisins terrestres, longueur du nom anglais. Les candidats d'une case sont les pays qui peuvent encore s'y trouver. Si la ligne croît par population, la case de gauche ne peut accueillir le pays le plus peuplé. Autre puzzle, coup identique.

Écrivez vos candidats : les garder en tête tue la précision.

2. Le singleton nu et le singleton caché

Deux façons opposées de rendre une case forcée.

Un singleton nu est une case à un seul candidat : l'exemple ci-dessus. Appelons cela l'élimination par case : vous avez rétréci un contenant jusqu'à n'y laisser entrer qu'un occupant.

Un singleton caché est une valeur à une seule destination. Prenez le bloc en haut à gauche et cherchez le 7. Un 7 occupe déjà la ligne 1 à droite du bloc, un autre la ligne 3 : ces deux lignes sont fermées au 7 dans ce bloc, donc son 7 habite la ligne 2, en r2c1, r2c2 ou r2c3. Si la colonne 1 contient un 7 plus bas et la colonne 2 également, r2c1 et r2c2 tombent. Il ne reste que r2c3, donc r2c3 vaut 7.

Et voici ce qui trompe tout le monde : r2c3 peut porter encore trois ou quatre candidats. Peu importe. Aucune autre case du bloc ne loge le 7, et le bloc en réclame un. Appelons cela l'élimination par valeur : vous avez rétréci les options d'un occupant jusqu'à ce qu'un seul contenant convienne.

Alternez. Elles trouvent des choses différentes et chaque placement nourrit l'autre. Une grille bloquée signifie presque toujours que vous n'en pratiquez qu'une depuis dix minutes.

3. Paires et triplets nus

On cesse de poser des valeurs pour en effacer en masse.

Sur la ligne 5, deux cases portent exactement les candidats {4, 6}. Vous ignorez laquelle est laquelle, et peu importe : à elles deux, elles consommeront le 4 et le 6 de la ligne. Aucune autre case de la ligne 5 ne peut donc valoir 4 ni 6. Une troisième portant {4, 6, 9} devient un singleton nu : 9.

C'est une paire nue : deux cases, deux candidats, une unité.

Le triplet nu est le même raisonnement à trois cases, avec un détail que presque tout le monde rate au début. Les cases n'ont pas besoin de porter chacune les trois candidats : ce qui compte, c'est que l'union de leurs candidats fasse exactement trois valeurs. Ainsi {2,7}, {7,9} et {2,9} forment un triplet sur {2,7,9} sans qu'aucune case n'affiche les trois. {2,7}, {2,7,9} et {7,9} aussi. Trois cases, trois valeurs : rayez 2, 7 et 9 du reste de l'unité.

4. Paires et triplets cachés

C'est l'inverse, et ce que la plupart des joueurs ne cherchent jamais.

Parcourez l'unité valeur par valeur en demandant où chacune peut aller. Dans la colonne 4, le 3 n'a que deux cases possibles, et le 8 exactement ces deux mêmes cases. Deux valeurs, deux cases. Elles se partageront le 3 et le 8, dans un ordre ou dans l'autre.

Tout le reste de ce qui y est écrit est donc faux. Si les cases affichent {1,3,5,8,9} et {3,4,8}, les deux se réduisent à {3,8}. Vous avez effacé cinq candidats sans poser une valeur, et créé une paire nue qui nettoie maintenant le 3 et le 8 du reste de la colonne.

Elles se cachent bien parce que les cases ont l'air chargées. Une case à cinq candidats ne paraît pas contrainte, et l'œil l'évite. Balayez par valeur, pas seulement par case. Les triplets cachés fonctionnent pareil : trois valeurs présentes dans trois cases seulement d'une unité possèdent ces cases.

5. Les intersections

La première technique à mobiliser deux unités à la fois.

Prenez le bloc central et la valeur 2. Toutes les cases du bloc pouvant porter un 2 sont sur sa ligne médiane. Vous ignorez laquelle. Mais le bloc réclame un 2 et tous les candidats sont sur cette ligne : le 2 de cette ligne est donc dans ce bloc. Le reste de la ligne, six cases, ne peut pas valoir 2. C'est la réduction bloc-ligne, souvent appelée pointage.

À l'envers, vous obtenez la réduction ligne-bloc. Si toutes les cases d'une ligne pouvant porter un 2 tombent dans un même bloc, le 2 de ce bloc est sur cette ligne : rayez le 2 des six autres cases du bloc.

Une idée, deux fois : une valeur confinée au chevauchement de deux unités est interdite dans le reste des deux.

6. Le rectangle (X-Wing)

Tout était local jusqu'ici. Le X-Wing traverse la grille.

Choisissez le 4. Sur la ligne 2, les seuls candidats au 4 sont en colonnes 3 et 7. Sur la ligne 8, également. Quatre cases, un rectangle.

La ligne 2 place un 4 en colonne 3 ou en colonne 7. La ligne 8 fait de même. Elles ne peuvent pas choisir la même, car deux 4 ne partagent pas une colonne. L'une prend donc la 3 et l'autre la 7, sans que vous ayez besoin de savoir dans quel sens. Dans tous les cas, les deux colonnes tiennent déjà leur 4. Effacez le 4 du reste des colonnes 3 et 7.

Cela se généralise aussitôt. Trois lignes où une valeur est confinée aux mêmes trois colonnes donnent un swordfish, quatre un jellyfish. Le raisonnement ne change pas : n unités, n places, toutes attribuées.

L'absence de marque est une marque

Voici l'idée qui vaut plus que les six autres réunies.

Dans Alfaelo, un sudoku de lettres 9×9, un point entre deux cases voisines signale que les lettres se suivent dans l'alphabet. Les débutants prennent les points pour le puzzle et les arêtes vides pour du décor. C'est l'inverse. Les points sont rares ; les arêtes vides sont partout, et chacune contraint : ces deux lettres ne se suivent pas.

Posez un E : chaque voisine sans point perd aussitôt le D et le F. Un placement, jusqu'à huit éliminations, et la grille n'a rien dessiné. Même chose dans Confinia, où chaque lien tracé représente une frontière terrestre réelle. Un lien dit que deux pays se touchent. Un vide dit que les pays de ces emplacements ne se touchent pas : souvent le fait le plus tranchant.

Un indice positif rétrécit une case. Un indice négatif rétrécit toute la grille d'un coup, en silence, et pour qui prend la peine de le lire.

Les grilles logiques rendent cela explicite : vous passez le puzzle à écrire des croix, pas des coches, et les coches apparaissent seules quand une rangée de croix laisse un trou. Même squelette que les techniques ci-dessus.

Dans quel ordre les appliquer

Balayez dans cet ordre, en repartant du haut après chaque placement.

• Singletons nus. Gratuits, immédiats, toujours en premier.
• Singletons cachés, unité par unité, valeur par valeur.
• Paires et triplets nus.
• Paires et triplets cachés.
• Intersections.
• Rectangles, une fois les passes bon marché épuisées.

L'ordre suit le coût : chaque étape se cherche plus cher que la précédente, et chaque placement redonne du travail aux précédentes. Repartir du haut a l'air d'un gaspillage et reste le chemin le plus rapide dans une grille difficile.

Une règle tient l'ensemble : si vous devinez, vous avez cessé de résoudre. Une devinette juste n'apprend rien et masque l'élimination qui vous a échappé. Bloquer ne veut jamais dire manquer de logique, mais manquer du type de logique employé jusque-là. Passez des cases aux valeurs, ou d'une unité à deux.

Ce squelette — lister le possible, détruire l'impossible, continuer jusqu'à ce qu'une seule chose reste debout — c'est tout. Il anime tous les puzzles de ce site, y compris Meridiano, bâti sur des relations entre pays, des parcours frontaliers de longueur exacte et des assemblages de cartes, où l'on ne voit pas un chiffre et où la méthode marche quand même.